EJERCICIOS

PRACTICA CON LOS SIGUIENTES EJERCICIOS

1. Encuentra la hipotenusa del triángulo usando el teorema de Pitágoras que ya aprendiste.

2. Busca el lado del triángulo rectángulo. Usa lo que aprendiste en este Blog.

3. Busca las razones trigonométricas seno, coseno y tangente de los siguientes triángulos.

A.

B.

Sopa de letras y crucigrama

GRANDES MATEMATICOS QUE APORTARON AL CONOCIMIENTO DE IDENTIDADES Y ECUACIONES TRIGONOMETRICAS

Teoremas de la suma y diferencia de ángulos

este tipo de identidades muestra una suma o una adición para un angulo; la idea es poder expresar un angulo cualquiera en función de un suma o una resta ; ademas este tipo de identidades generaliza la teoría de las identidades trigonométricas de la siguiente forma:

Pueden demostrarse según la formula de Euler o mediante la proyección de ángulos consecutivos. La identidad de la tangente surge del cociente entre coseno y seno, y las restantes de la recíproca correspondiente.

Primera demostración por semejanza de triángulos: Sean alfa y beta dos ángulos. Al aplicar la función Seno, a la suma de dos ángulos alfa y beta se obtiene la siguiente identidad:   Para comprobar ${\displaystyle \operatorname {sen} (\alpha +\beta )=}$ ${\displaystyle \operatorname {sen} (\alpha )\cos(\beta )+\cos(\alpha )\operatorname {sen} (\beta )}$ Para representar esta función se puede representar mediante  las relaciones trigonométricas del dibujo : ${\displaystyle {\frac {DB}{DA}}={\frac {EF}{EA}}{\frac {AF}{AD}}+{\frac {AF}{AE}}{\frac {DF}{DA}}}$ simplificando ${\displaystyle AD}$ y sacando factor común ${\displaystyle {\frac {AF}{AE}}}$ queda: ${\displaystyle DB={\frac {AF}{AE}}(EF+FD)}$ como ${\displaystyle EF+FD=ED}$: ${\displaystyle {\frac {DB}{DE}}={\frac {AF}{AE}}}$ Otra  demostración es por áreas de triángulos: La relación entre áreas del dibujo es: ${\displaystyle A_{total}=A_{a}+A_{b}}$ aplicando fórmulas de áreas y con ${\displaystyle a\cos \alpha =b\cos \beta }$ se obtiene: ${\displaystyle {\frac {\operatorname {sen}(\alpha +\beta )ab}{2}}={\frac {\operatorname {sen} \alpha \cos \beta ab}{2}}+{\frac {\operatorname {sen} \beta \cos \alpha ab}{2}}}$ simplificando: ${\displaystyle \operatorname {sen} (\alpha +\beta )=\operatorname {sen} \alpha \cos \beta +\operatorname {sen} \beta \cos \alpha }$. Demostración de ${\displaystyle \operatorname {sen} (x-y)=}$ ${\displaystyle \operatorname {sen} (x)\cos(y)-\cos(x)\operatorname {sen} (y)}$ aplicando la identidad antes demostrada: ${\displaystyle \operatorname {sen} (x-y)=}$ ${\displaystyle \operatorname {sen} (x+(-y))=}$ ${\displaystyle \operatorname {sen}(x)\cos(-y)+\cos(x)\operatorname {sen}(-y)=}$ ${\displaystyle \operatorname {sen} (x)\cos(y)+\cos(x)(-\operatorname {sen} (y))}$. Demostración de ${\displaystyle \cos(x+y)=}$ ${\displaystyle \cos(x)\cos(y)-\operatorname {sen} (x)\operatorname {sen} (y)}$ aplicando la primera identidad: ${\displaystyle \cos(x+y)=\operatorname {sen} (x+(y+{\frac {\pi }{2}}))=}$ ${\displaystyle \operatorname {sen} (x)\cos(y+{\frac {\pi }{2}})+\cos(x)\operatorname {sen} (y+{\frac {\pi }{2}})=}$ ${\displaystyle \operatorname {sen} (x)(-\operatorname {sen} (y))+\cos(x)\cos(y)}$. Demostración de ${\displaystyle \cos(x-y)=}$ ${\displaystyle \cos(x)\cos(y)+\operatorname {sen} (x)\operatorname {sen} (y)}$ aplicando la identidad antes demostrada: ${\displaystyle \cos(x-y)=}$ ${\displaystyle \cos(x+(-y))=}$ ${\displaystyle \cos(x)\cos(-y)-\operatorname {sen} (x)\operatorname {sen} (-y)=}$ ${\displaystyle \cos(x)\cos(y)-\operatorname {sen} (x)(-\operatorname {sen} (y))=}$ ${\displaystyle \cos(x)\cos(y)+\operatorname {sen} (x)\operatorname {sen} (y)}$. Demostración de ${\displaystyle \tan(x\pm y)={\frac {\tan(x)\pm \tan(y)}{1\mp \tan(x)\tan(y)}}}$ ${\displaystyle \tan(\alpha \pm \beta )=}$${\displaystyle {\frac {\operatorname {sen} (\alpha \pm \beta )}{\cos(\alpha \pm \beta )}}=}$${\displaystyle {\frac {\operatorname {sen} (\alpha )\cos(\beta )\pm \cos(\alpha )\operatorname {sen} (\beta )}{\cos(\beta )\cos(\alpha )\mp \operatorname {sen} (\alpha )\operatorname {sen} (\beta )}}=}$ ${\displaystyle {\frac {\frac {\operatorname {sen} (\alpha )\cos(\beta )\pm \cos(\alpha )\operatorname {sen} (\beta )}{\cos(\alpha )\cos(\beta )}}{\frac {\cos(\beta )\cos(\alpha )\mp \operatorname {sen} (\alpha )\operatorname {sen} (\beta )}{\cos(\alpha )\cos(\beta )}}}=}$ ${\displaystyle {\frac {\tan(\alpha )\pm \tan(\beta )}{1\mp \tan(\alpha )\tan(\beta )}}}$. ejemplos: obtener el valor de seno(150°), utilizando la identidad del seno de la suma de dos ángulos.  sen(150°)=sen(45°+60°) =sen(45°)cos(60)+sen(60°)cos(45°) =2/2 + 6/4 =2 + 6/4 Obtener el valor de Cos (75°) Cos(75°)=cos(45°+30°) =cos(45°) cos(30°) - sen(45°)sen(30°) =(2/2) (3/2) - (2/2)(1/2) =(2)(3/4) - 2/4 = 6 - 2/4

Ejemplos y Vídeos

Aquí tienes algunos ejemplos para que todo sea un poco más claro y ejecutable

TEOREMA DE PITÁGORAS

Primer ejemplo

Conocemos un triángulo rectángulo que tiene el valor de sus dos catetos, pero desconocemos el valor de h. 

Debemos aplicar el teorema de Pitágoras 

Segundo ejemplo

Tercer ejemplo

Conocemos un triángulo rectángulo en el que conocemos las medidas de la hipotenusa y uno de sus catetos.

Debemos aplicar el teorema de Pitágoras, pero despejando de la siguiente manera.

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS SENO, COSENO Y TANGENTE

Aquí tenemos un ejemplo donde aplicamos las razones trigonométricas del seno, ceseno y tangente en un triángulo rectángulo.

Es importante que sepas que estas razones solo se pueden aplicar a los triángulos rectángulos, es decir aquellos que tiene un ángulo de 90°.

Vídeos 

• Identidades trigonométricas Introducción 

• Demostrar verificar Identidades Trigonométricas | Ejemplo 1

• Demostrar identidades Trigonométricas - Ejemplo 2

• Identidades trigonométricas | Ejercicio 1 | La Prof Lina M3

• ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS - Ejercicio 1

• Ecuación trigonométrica 01 BACHILLERATO

• Ejercicios de ecuaciones trigonométricas

• Ecuaciones Trigonométricas - Trigonométrica