Teoremas de la suma y diferencia de ángulos

este tipo de identidades muestra una suma o una adición para un angulo; la idea es poder expresar un angulo cualquiera en función de un suma o una resta ; ademas este tipo de identidades generaliza la teoría de las identidades trigonométricas de la siguiente forma:

Pueden demostrarse según la formula de Euler o mediante la proyección de ángulos consecutivos. La identidad de la tangente surge del cociente entre coseno y seno, y las restantes de la recíproca correspondiente.

Primera demostración por semejanza de triángulos: Sean alfa y beta dos ángulos. Al aplicar la función Seno, a la suma de dos ángulos alfa y beta se obtiene la siguiente identidad:   Para comprobar ${\displaystyle \operatorname {sen} (\alpha +\beta )=}$ ${\displaystyle \operatorname {sen} (\alpha )\cos(\beta )+\cos(\alpha )\operatorname {sen} (\beta )}$ Para representar esta función se puede representar mediante  las relaciones trigonométricas del dibujo : ${\displaystyle {\frac {DB}{DA}}={\frac {EF}{EA}}{\frac {AF}{AD}}+{\frac {AF}{AE}}{\frac {DF}{DA}}}$ simplificando ${\displaystyle AD}$ y sacando factor común ${\displaystyle {\frac {AF}{AE}}}$ queda: ${\displaystyle DB={\frac {AF}{AE}}(EF+FD)}$ como ${\displaystyle EF+FD=ED}$: ${\displaystyle {\frac {DB}{DE}}={\frac {AF}{AE}}}$ Otra  demostración es por áreas de triángulos: La relación entre áreas del dibujo es: ${\displaystyle A_{total}=A_{a}+A_{b}}$ aplicando fórmulas de áreas y con ${\displaystyle a\cos \alpha =b\cos \beta }$ se obtiene: ${\displaystyle {\frac {\operatorname {sen}(\alpha +\beta )ab}{2}}={\frac {\operatorname {sen} \alpha \cos \beta ab}{2}}+{\frac {\operatorname {sen} \beta \cos \alpha ab}{2}}}$ simplificando: ${\displaystyle \operatorname {sen} (\alpha +\beta )=\operatorname {sen} \alpha \cos \beta +\operatorname {sen} \beta \cos \alpha }$. Demostración de ${\displaystyle \operatorname {sen} (x-y)=}$ ${\displaystyle \operatorname {sen} (x)\cos(y)-\cos(x)\operatorname {sen} (y)}$ aplicando la identidad antes demostrada: ${\displaystyle \operatorname {sen} (x-y)=}$ ${\displaystyle \operatorname {sen} (x+(-y))=}$ ${\displaystyle \operatorname {sen}(x)\cos(-y)+\cos(x)\operatorname {sen}(-y)=}$ ${\displaystyle \operatorname {sen} (x)\cos(y)+\cos(x)(-\operatorname {sen} (y))}$. Demostración de ${\displaystyle \cos(x+y)=}$ ${\displaystyle \cos(x)\cos(y)-\operatorname {sen} (x)\operatorname {sen} (y)}$ aplicando la primera identidad: ${\displaystyle \cos(x+y)=\operatorname {sen} (x+(y+{\frac {\pi }{2}}))=}$ ${\displaystyle \operatorname {sen} (x)\cos(y+{\frac {\pi }{2}})+\cos(x)\operatorname {sen} (y+{\frac {\pi }{2}})=}$ ${\displaystyle \operatorname {sen} (x)(-\operatorname {sen} (y))+\cos(x)\cos(y)}$. Demostración de ${\displaystyle \cos(x-y)=}$ ${\displaystyle \cos(x)\cos(y)+\operatorname {sen} (x)\operatorname {sen} (y)}$ aplicando la identidad antes demostrada: ${\displaystyle \cos(x-y)=}$ ${\displaystyle \cos(x+(-y))=}$ ${\displaystyle \cos(x)\cos(-y)-\operatorname {sen} (x)\operatorname {sen} (-y)=}$ ${\displaystyle \cos(x)\cos(y)-\operatorname {sen} (x)(-\operatorname {sen} (y))=}$ ${\displaystyle \cos(x)\cos(y)+\operatorname {sen} (x)\operatorname {sen} (y)}$. Demostración de ${\displaystyle \tan(x\pm y)={\frac {\tan(x)\pm \tan(y)}{1\mp \tan(x)\tan(y)}}}$ ${\displaystyle \tan(\alpha \pm \beta )=}$${\displaystyle {\frac {\operatorname {sen} (\alpha \pm \beta )}{\cos(\alpha \pm \beta )}}=}$${\displaystyle {\frac {\operatorname {sen} (\alpha )\cos(\beta )\pm \cos(\alpha )\operatorname {sen} (\beta )}{\cos(\beta )\cos(\alpha )\mp \operatorname {sen} (\alpha )\operatorname {sen} (\beta )}}=}$ ${\displaystyle {\frac {\frac {\operatorname {sen} (\alpha )\cos(\beta )\pm \cos(\alpha )\operatorname {sen} (\beta )}{\cos(\alpha )\cos(\beta )}}{\frac {\cos(\beta )\cos(\alpha )\mp \operatorname {sen} (\alpha )\operatorname {sen} (\beta )}{\cos(\alpha )\cos(\beta )}}}=}$ ${\displaystyle {\frac {\tan(\alpha )\pm \tan(\beta )}{1\mp \tan(\alpha )\tan(\beta )}}}$. ejemplos: obtener el valor de seno(150°), utilizando la identidad del seno de la suma de dos ángulos.  sen(150°)=sen(45°+60°) =sen(45°)cos(60)+sen(60°)cos(45°) =2/2 + 6/4 =2 + 6/4 Obtener el valor de Cos (75°) Cos(75°)=cos(45°+30°) =cos(45°) cos(30°) - sen(45°)sen(30°) =(2/2) (3/2) - (2/2)(1/2) =(2)(3/4) - 2/4 = 6 - 2/4